Правильная работа массива PHP и запись его в MySQL?

Лучше переведите в JSON.

$array = [1,2,3];
$arrayString = json_encode($aray);

Смотря для чего это нужно. Если это набор данных, которые только хранятся в БД и никакого поиска по ним нет, то храните как вам удобнее. Если же это, например, идентификаторы строк другой таблицы и они нужны в JOIN'ах и WHERE, то хранить их надо отдельными строками связанной таблицы.