Как осуществить связь между домашним и рабочим компьютером?

Какие ОС используете дома и в офисе? Доступ к каким сервисам вам необходим?

Допустим, в самом простейшем случае - хотите подключиться к рабочему ПК и "двигать мышкой".
Тогда для Windows лучше всего использовать RDP или VNC (например, TightVNC). Компьютер на работе естественно должен быть включен, либо нужно настроить Wake-on-lan.
Для Linux подойдёт VNC (например, x11vnc).

Так как в офисе интернет проведён для юридического лица, то 99%, что там у вас есть белый статический ip-адрес. Попросите админа пробросить вам rdp или vnc порт на маршрутизаторе и подключайтесь из дома на здоровье.

Может подойдёт репозиторий Git ? Смотря для каких целей

Я фронтенд и максимум, что использовал - git + ftp/sftp

Я использую на этот случай git с хуками. Посредником выступает удалённый сервер. Подходит для проектов в стадии постпродакшена
https://habrahabr.ru/post/127213/

У меня дома и на работе настроена синхронизация каталогов через облако (yandex и google).
Внутри синхронизируемого каталога у меня локальные git репозитории.

Очень удобно - на работе поделал что-то и в любой момент сорвался (можно даже ничего не коммитить, не то что pull-ить) и поехал домой - дома продолжаешь ровно с того момента где закончил на работе.

Тут была уже тема, где долго спорили, что облако в такой ситуации не нужно, все решается пуллом в глобальный репозиторий. Но мне удобнее с облаком, а git я использую именно и только для контроля изменений и версий.

А VPN у вас на работе нет? Спросите админа, он либо должен уже быть, либо его стоит настроить, чтобы не изобретать велосипеды.

если все рядом то просто удаленно работаю на рабочем компе и не парюсь

Для простой синхронизации файлов больше всех понравился Dropbox, а для работы на удаленном компе без всяких выделенных IP - пользую TeamViewer