Как сделать так, чтобы ViewContreoller был виден поверх предыдущего? Наподобие UIAlertController?

все просто:

topViewController.view.backgroundColor = UIColor.clear
topViewController.modalPresentationStyle = .overFullScreen
bottomViewController.present(topViewController, animated: true, completion: nil)

Возможно тебе нужно Pop Up View Controller. Т.е. отображение нового VC поверх нашего. Вот ссылка на видео, которое я смотрел по этой теме:
https://www.youtube.com/watch?v=FgCIRMz_3dE
Это как на примере твоем.
Если нужно чтобы новый VC полностью перекрывал предыдущий я бы использовал Present Modally.
Могу ошибаться сижу месяц тока за программированием.
Сам еще юнлинг