Какая программа менеджмента паролей подойдет для совместной роботы в IT отделе?

Создаете группу, которая имеет соответствующий доступ к ресурсу.
Когда юзеру нужен будет доступ, просто помещаете его в эту группу.
Пароль при этом остается один всегда.
Это обычная практика разграничения прав доступ в корпоративной сети.
Если сеть на винде, поднимает актив директори, если еще не поднята, и управляете всеми пользователями и раздачей прав централизовано.

Данил под ваш запрос, на 100% готового и бесплатного решения нет, нужно брать за основу одно из готовых решений или писать велосипед под свои нужды.

Посмотрите варианты: passbolt (open source, есть расширение для chrome и firefox), teampass.

Ребята правы, надо Вам в корне менять структуру. Вводить домен, выдать пароль эникею, с определенными правами, или же политикой разрешить смену паролей пользователям.
Если это невозможно, по деньгам, или по другим причинам, мне однажды пришлось использовать связку:
Keepass + Boxcryptor + Google Drive\Dropbox
Офисы были разнесены сильно, и на время покупки MS Server+железки мы использовали эту связку для обмена паролями, и то не юзеров.
Если Вы не озабочены какой-либо безопасностью, пользуйте просто KeePass + облако.

Тов Сергей прав, KeePass, расшаренный через Dropbox подойдет.
Но есть одна особенность, открыв файл с базой паролей в одном месте, KeePass рядом создает lock-файл. Если не закрыв в одном месте, попытаться открыть в другом, выдаст сообщение о том, что база где-то уже открыта. Потому папку, где хранится база паролей, необходимо защитить от записи. Если у вас есть сервер, и не хочется покупать Enterprise-версию Dropbox, можно использовать бесплатно, установив на свой сервер ownCloud

Смотрите Vault или KeeWeb

Однако, это больше менеджеры личных паролей. Домен и управление правами доступа никто при этом не отменяет.

Хочется обратится к отвечающим:
Человек попросил посоветовать систему для управления паролями, он не говорил что это пароли пользователей windows, пароли бывают разные: пароли wi-fi, пароли на доступ в конкретную программу, пароли баз-данных, и т.д. и т.п. и не всё решается с помощью актив директори.
Тем более он написал (если я правильно понял) что речь идёт об обмене паролями внутри IT-отдела, о раздаче их пользователям речи не шло.

По вопросу:
Думаю наиболее оптимальным будет сделать простенький внутренний сайт с требуемым функционалом. Главное грамотно его настроить чтобы пароли не уплыли.