Как во всемирной сети появляются сведения о новом сервере DNS?

Дело не в том как в мире появляется новый DNS сервер, а в том, как в мире появляется новый домен.
Если вы сделали свой DNS и на нем завели новый домен - никто про это и не узнает.

Домен нужно регистрировать у регистратора, который добавляет запись в NS сервера отвечающего за соответствующий домен. А ваш локальный DNS сервер никакого отношения к зоне .ru не имеет и будет влиять только на те компы, у которых он будет настроен DNS сервером.

Вообще просто почитайте как работает служба DNS.

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/DNS
2. Возможно есть.

Набирая в браузере site1.ru , как запрос придет к моему DNS?

Никак. Только если ты вобьешь IP адрес своего dns в настройки сети того устройства, с которого ты будешь открывать сайт. Свой DNS - только для своей локальной сети. Для своих DNS серверов отказоустойчивость реализуется также как и для любых других серверов.

Статья про DNS, часть 1
Статья про DNS, часть 2

ЗАпрос к нему пойдет, поскольку вы его укажите Или
А записе
или в NS
другим способом туда он и не пойдет только если с консоли укажите конкретный днс сервер у кого вы желаете это спросить.

host -a ваш_сайт.ру днс_сервер_с_с_которого_хотите_спросить.ру

ты регистрируешь свой днс в корневых днс серверах , которые у всех одинаковые
почти все платные сервисы умеют файловер и раундробин в днсах
тот же роут53 от амазона

Чет выше какой-то компот.

Просто делегируете домены на этот dns-сервер или домен сам на себя.

например, сервер ns1.site.ru, делаете ему алиас (или второй физический сервер) ns2.site.ru
и делегируете у регистратора домен example.ru на ns1.site.ru, ns2.site.ru
после этого все запросы о *.example.ru пойдут на ваш сервер (в течение 1-2 часов для домена .ru).

Если хотите домен site.ru на себя самого, то делегируете домен вот таким набором:
ns1.site.ru 127.0.0.1
ns2.site.ru 127.0.0.2
(указывая реальные ip этих серверов или сервера, но обязательно 2 записи).