Контора купила «сайт» — и что мне теперь с ним делать?

Добро пожаловать на https://freelansim.ru/

Договор на создание сайта есть? Что там написано по поводу несоответствия требованиям? И, главное, кто и как принимал готовую работу?) Чтобы такого не случалось предупредите руководство, что к работе с такими вещами и знающих людей тоже надо подтягивать. А так да, ищите фрилансеров...

пояснить руководству за что они заплатили деньги.

Рассказать руководству всё это - в первую очередь)

Вариант Василия самый быстрый и приемлимый на первое время. А параллельно писать админку

В вашей ситуации может быть множество нюансов, но два крайних варианта видятся такими:

1. Всё так и должно было быть, согласно договора вашего начальства с исполнителем, примерно так (со стороны разработчика) "мы делаем статику, а потом ваш специалист ставит на ваш сервер и вашу CMS".
Ну, понятно, что в этом случае вам карты с мануалами в руки, и делать свою часть работы.
Кстати, я бы порекомендовал Вордпресс.

2. Разработчик держит вашу контору в лице руководителя за лоха.
Тогда можете попробовать вступить с ним(и) в переписку, начиная с того, что "вышлите, пожалуйста, инструкции по редактированию сайта и пароли для доступа к редактированию".
Если разработчик уйдёт в отказку, по крайней мере, вы сможете показать руководителю, что паролей нет, перейти к первому варианту, но уже с тем, что руководитель осознает глубину.

Может подскажете, может есть какая-нть недо-цмс как раз для таких случаев?

Даже не думай об этом! И никаких обращений на фриланс для решения ЭТОЙ проблемы. Иначе это станет твоим персональным геммороем и большим проблемами в отношениях с начальством.

Первое что нужно - это договор. Читаем что и как должны предоставить. Если всё соответствует договору (нет слов про админку, управление, CMS разного рода инструкций по установке-обслуживанию и тл) - все претензии к составителям и принимателям оного.
Если есть - требовать исполнения договора.
А начальству так и объяснять - либо по договору нет возможности новых хотелок (чит: надо ещё деньги, чтобы привести это до состояния хотелок), либо исполнение не соответствует договору. И в любом случае то. что дали - невозможно использовать.

Покажите скриншот папок и файлов.
Есть ли там папка типа administrator, admin, panel и т.д.?
MySQL в архиве есть?

Вижу два положительных момента:
1. Верстка все-таки сделана, а это порядка 30% работы над сайтом.
2. Судя по всему, руководство настолько в теме, что тот пароль ему все равно не понадобится.

Пару месяцев на вёрстку, вдумайтесь, 2k17 ...