Оставляете ли вы авторство на сайтах если разрабатывали её в компании и стоит ли это делать?

Не совсем понятно - в этой фирме что сделала сайт Вася занимается дизайном, версткой, программированием, наполнением?
Иначе откуда у него возьмется авторство сайта? Если Вася занимается программированием у него будет авторство на код и только, но никак не на сайт.

Далее - что написано в договоре между Васей и фирмой?
Обычно там прописано что исключительные права переходят к фирме.
Авторы - программисты дизайнеры и прочие имеют авторство, а вот исключительные права на продажу и распространение только у фирмы в которой они работают.
Обычно так, но надо смотреть договор чтобы сказать точно.
В спорных моментах можно решить вопрос в суде.

По поводу оставления в коде закладок, бэкдоров, подписей и прочего - с разрешения фирмы.
Можно конечно и без разрешения - но за такие художества могут без премии оставить, или в суд подать.
Опять же уточнять надо путем изучения договора.

1)Это ваши взаимоотношения с работодателем - можно или нет прописано в договоре по которому вы работаете, в служебной инструкции, в правилах компании.
2)Тут исключительно все от вашей фантазии зависит.
3)Нет.

Вариантов полно
использовать в верстке классы и id , составляющие какое то слово.
вкинуть в файл библиотеки с js или css свои фио и закомментить где нибудь в середине(Как вариант еще где то в base 64).
Если На серверных скриптах, можно вкинуть проверку доступности какого то своего домена, к примеру или же файла на нем. И уже в зависимости от ответа сервера впаять функцию...
Вообщем много как можно извратиться ;)
Как правило прокатывает ;) А вообще так и нужно! От нерадивых заказчиков (обычно посредники) иметь хоть какой то плюс.

Ты путаешь авторство и дизайн.
Если возникает объект интеллектуальной собственности, то твое авторство возникает и остается за тобой вне чьего-то желания. Здесь ключевое "если возникает..."
А запрет указания имени автора в футере это не лишение его авторства, а следование концепциям дизайна и маркетинговой политике.

Авторство кода всегда остается за тобой. Даже создавая класс, обычно пишутся инициалы.
Другой вопрос "ПРАВА". Я не знаю конечно какая политика именно у той фирмы. Но обычно политика компаний гласит "все, что ты делаешь работая на них, будь то хеллоу ворлд или алгоритм написанный на листочке - пренадлежит компании", именно за это тебе и платят. При продаже, так же права передаются 2ому лицу. Но повторяю "авторство", остается за разработчиками.