Может ли падать фпс в онлайн играх из-за сети?

Фризы из-за сетевых задержек - это абсолютно реально. По-другому клиент-серверную игру просто невозможно реализовать, она не может отдельно от сервера продолжать играть сама по себе.
А вот падение FPS - это признак плохой архитектуры. При хорошей архитектуре отрисовкой кадров занимается отдельный поток, который ни в какой момент не совершает синхронных вызовов сетевого ввода/вывода и продолжат рисовать кадры так быстро, как это возможно (но не быстрее vsync по уму) даже в моменты, когда геймплей замер в ожидании взаимодействия с сервером.

Да

Зависит от реализации.
В общем случае не должно, но если для отрисовки объектов нужны данные из сети, то может и тормозить.

Сама нагрузка на сеть, которую создают игры - практически не имеет влияния на фпс. Но вот при парралельном скачивании файликов на гигабитном подключении может уже и на процессор влиять, особенно по https или торренты.