Как запихнуть дочерний элемент вниз блока и по совместительству вниз overflow-y родительского блока?

Пока никак кроме как через js.
Ну а в будущем будем пользоваться position: sticky;

или если у блока фиксированная высота/ширина, то можно просто обернуть его в div, а уже в нем положить этот фиксированный блок как position absolute, bottom 0, right 0. так