Как по нажатию на div открыть select?

Обычный, нативный select нельзя открыть программно.

Открытие селекта можно только эмулировать стороннми средставми, например:
1. Воспользоваться библиотекой меняющей вид селектов (select2 и т.п.) они умеют все
2. Копировать содержимое селекта в новый див и показать отдельно