Доказывают ли изначально аксиомы, чтобы потом принимать их на веру?

Аксиома - это то, на чем строится дальнейшая теория. Аксиома потому и аксиома, что берется без доказательства.
Евклид сказал: параллельные прямые не пересекаются. И дальше строит на это свою геометрию.
Лобачевский (если не ошибаюсь на счет фамилии) сказал что параллельные прямые пересекаются и строил на этом уже свою геометрию.

Т.е. аксиома - это как фундамент для чего-то.

Нет, все именно так, как написано в вики.
Более того может быть несколько различных наборов аксиом (см. геометрия Лобачевского), которые приводят к разным результатам. Но они все правильные и подходят для разных случаев.

Ну, и дальше опытным путем выясняют, что аксиомы, например, арифметики неплохо соответствует тому что происходит с предметами в реальном мире.

Аксиомы доказать невозможно. Но можно сделать одну классную вещь. А именно — построить модель теории. Другими словами: найти в соседней теории, которой вы «доверяете» (например, теории действительных чисел или евклидовой геометрии) такие «точки» и «прямые», чтобы они отвечали всем аксиомам. И эти аксиомы нужно доказывать, чтобы показать, что, например, R² с «точками» (x,y) и «прямыми» ax+by+c=0 — действительно модель евклидовой геометрии.

Да, и математики часто, но некорректно говорят: «Векторное пространство — это совокупность из основного множества X, числового поля K, операций x+y и x·k такая, что отвечает аксиомам…» Вообще-то, требованиям, а не аксиомам, и эти «аксиомы» нужно доказывать, чтобы доказать, что, например, R² — векторное пространство над полем R.

Да, а что же Евклид? А Евклид, вероятно, сам не догадывался, какую классную штуку он придумал. К тому же исчерпывающую аксиоматику евклидовой геометрии придумали ≈1900. Страшна, как чёрт, шесть базовых понятий… Но это зачастую и не требуется, чтобы решать задачи — надо как-то определить объект изучения и начать доказывать теорему за теоремой. Большинство из нас, даже выпускники вуза, не знают ни теорию действительного числа, ни аксиоматику Пеано для арифметики, ни аксиоматику для теории множеств…

Нет. Чтобы что-то доказать - нужно всегда основываться на чем-то. Либо на других доказанных теоремах, либо, в конце-концов - на аксиомах.
Цитата из вики:

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные.

Если брать чистую математику, то ни то, ни другое. Аксиомы не доказываются и не принимаются на веру. Они просто используются для построения теории. Для этого в них не нужно верить, как не нужно «верить» в правила шахмат, чтобы в них играть.
Если смотреть с практической, прикладной точки зрения, то аксиомы позволяют определить область применимости теории. Если мы описываем какую-то часть реальности в терминах теории и при этом аксиомы этой теории соответствуют верным утверждениям о реальности, то эта теория годится в данном конкретном случае. Вот тут уже применимость аксиом просто так нельзя принять, она должна либо доказываться из уже принятой ранее теории, либо подтверждаться эмпирически.