Поднять сервер на домашнем железе?

Вам надо узнать тип вашего IP: серый или белый
Если серый, то с вашего IP сидите не только вы и он общий на некоторое число абонентов. Тут поможет только туннель до отдельного сервера в интернете.
Если белый, то явно динамический. Тут нужна услуга по типу DynDNS, вам дают бесплатный домен (хотя можете купить себе какой хотите) и специальный клиент установленный на сервере обновляет ААА-запись этого домена и к вам можно попасть по домену не зависимо от текущего IP. Вам только нужно корректно настроить роутер. Многие хорошие роутеры имеют этот клиент прямо в прошивке и вам надо только поставить галочку в интерфейсе

Если у вас адрес белый - то вам помогут сервисы вроде DynDNS.
Хотя конечно ни о каком серьезном хостинге тут говорить нечего.

Если у вас адрес серый - вам нужно будет либо получать у провайдера белый, либо арендовать сервер с белым адресом. Иначе никак.

Но вообще большинство провайдеров, кроме разве-что мобильных без проблем предоставляет белые статические адреса, по заявлению, за небольшую плату 50-150рублей в месяц.

проваудер типа Ростелеком за туже абонентскую плату предоставляет белый IP но динамический, для периода "на попробовать" можно в принципе обойтись и без статики, воспользоваться DynDNS, у роутеров типа Dlink раньше было даром. Если IP серый то тогда придется отдельно покупаться услугу белого статического IP, цена может быть разной, в краснодаре у МТС она стоит 150 р к примеру.
Далее попытайтесь найти сервис, который вам пока бесплатно предоставит доменное имя которое вы сможете привязать к вашему IP.
Или есть вариант не идти по этому пути а обратиться сразу к сервису как вы написали reg ru. Не знаю качество их услуг, НО цена в принципе у них конкурентно способная на мой взгляд.