Можно ли делать резервное копирование виртуальной машины во время ее работы?

Делать -- можно. Будет ли потом работать -- будет. А вот будет ли работать восстановленная из бэкапа копия --
не факт. Смотря какие сервисы внутри крутятся, и чем они конкретно в этот момент занимаются.

Во время ее работы я могу ее файлово скопировать через Veeam Backup? Она будет после этого работать? Так можно делать?

Зависит от нескольких факторов.
Вообще можно копировать файл виртуальной машины во время работы, и если вы сделаете это грамотно, например с помощью теневого копирования - все прекрасно будет работать.
А вот как именно работает Veeam Backup об этом лучше спросить у производителей этого продукта.

Veeam Free Backup Tool умеет в бэкапы работающих виртуалок (ограничения)

Про Veeam ничего не скажу, Nakivo так делает. Как реализуется? Да так же как наверное и у всех - снапшот, который потом бэкапится.

Veeam прекрасно интегрируется с продуктами VMWare, файловый бэкап это принципиально, почему не используете quiesce-снапшот?