Правильная ли у меня структура для темы Woocommerce?

Поставьте плагин Query Monitor, это поможет решить многие проблемы. Вы будете видеть, какие шаблоны запрошены Wordpress, а какие найдены и используются, плюс еще много фишек, которые понадобятся в дальнейшем. Если хотите ответ - приведите содержимое ваших файлов в шаблоне, конкретно archive-product.php, почему вы решили что он не используется?

Вы не совсем уловили иерархию шаблонов WP. Файл index.php нужен не только потому что "без index.php тема не работает", а потому что это основной fallback шаблон, который используется если не обнаружен более подходящий (более специфичный).

В вашем текущей конфигурации абсолютно все страницы сайта будут использовать index.php, только кроме архивов товаров. WooCommerce темплейт archive-product.php используется для отображения страниц с товарами (все товары, товары в категории и тд) включая главную страницу магазина (не сайта!), которая обычно example.ru/shop.