Как поймать любое событие на элементе?

Тебе для дебага? В хроме же есть Event Listeners у элемента

Задавать тип обрабатываемого события надо явно, так что способа легко и просто сделать то, что вы хотите, нет.

Можно подготовить список типов событий заранее и повесить общий обработчик:

const events = [ 'mousemove', 'mouseleave', 'mousedown', ... ];

$element.on(events.join(' '), function(e) { ... })

Или попробовать собрать имена типов событий, перебирая DOM-свойства элемента - имена обработчиков выглядят как "on<тип события>":

const events = [];
for (const k in element) {
  if (k.indexOf('on') === 0) {
    events.push(k.slice(2));
  }
}

$(element).on(events.join(' '), function(e) {
  console.log(e.type);
});