Как написать код для определения суммарного объема вложенных друг в друга шаров?

Объем стенок имеется в виду? Тогда, если вкладываем без зазоров, получаем большой шар со стенкой 12 * 5 мм и двркой как у маленького -- 10см.
Получаем внешний диаметр 22см (10 дырка + 2 * 6 стенки).
Объем = объем целиком - объем дырки.
Ну и не забываем что литр = 1дм^3. Единицы измерений надо аккуратно привести.

const
  PI = 3.1415926;
var
  D, V: real;
  k: integer;
begin
D := 10;
V := 0;
for k := 1 to 12 do begin
  V := V + PI * D * D * D / 6;
  D := D + 1;
end
V := V / 1000;

Не надо таких неоптимальных алгоритмов.
Т.е. не надо каждый раз считать объем.

У вас между стенками всех 12 шаров нет зазоров. т.е. можно весь этот объем считать общим. У нас есть:
внутри шарообразная полость диаметром 10 и 12 слоев с 5 см стенками, т.е. каждый новый слой увеличивает диаметр на 10.

Т.о. у вас наружный диаметр = 10 + 10 * 12 = 130

Далее считаем объем по наружному диаметру и вычитаем объем полости (та же формула но по внутреннему диаметру)

Никаких циклов - не надо.