Возможно ли изменить внутренний локальный ip-адрес на любой другой?

Начнем с того, что адрес 12.45.78.0 неправильный, ".0" - это всегда адрес сети, но не конкретного хоста. Адрес конкретных хостов не могут быть ".0" (это при любой маске подсети, при масках меньше чем 255.255.255.0 есть и другие исключения).

А теперь ответ, если исправите написанное выше:

Есть два варианта реализации задачи:
1. Поместить их в одну подсеть, это будет маска 0.0.0.0. Тогда роутер не нужен. О взаимодействии с остальным интернетом забудьте, при такой маске ВСЕ хосты при такой маске находятся в вашей локальной сети.

2. Взять роутер с поддержкой нескольких адресов на Ethernet (далеко не всякий роутер со стоковой прошивкой может это) и назначить на Ethernet (который LAN) адреса из тех же подсетей, что и хосты (компьютеры). Соответственно на хостах не забыть default-роутинг на соответствующие адреса роутера. А роутер и сам разберется куда пакеты слать, так как обе сети на его Ethernet-e.

2 компьютера в сети объединенные локальной сетью с помощью маршрутизатора.

В локальную сеть объединяют с помощью свитча. Маршрутизатор тут никак не поможет.

Сменить IP одного компьютера на 12.45.78.0, другого на IP на 210.134.88.4. При этом, чтобы они могли подключиться друг к другу без использования Интернета. Есть только 2 ПК и роутер между ними.

Конечно возможно. Для этого есть специальное устройство - маршрутизатор, это такой специальный девайс предназначенный для соединения разных сетей друг с другом. Обычно делают так.

Но поскольку вопрос теоретический, то можно обойтись и без маршрутизатора, с помощью свитча, просто надо сделать так чтобы оба компьютера были в одной сети. Практически такого лучше не делать.

Собственно в одной сети они или нет - определяется с помощью маски.