Есть ли API для перевода с карты на карту?

youdo использует для этих целей вот этот сервис http://единаякасса.рф/

https://kassa.yandex.ru/
https://www.robokassa.ru/ru/

было бы АПИ - магазины были бы не нужны

с карты на карту нет

максимум со счета на карту ( сложно, но вроде бы достаточно мерчантов предлагает)
и с карты на счет

Ни один банк не даст внешний доступ для произвольного снятия денег с карты.
Только через личный кабинет банка/через приложение банка.

Реализовать вы можете косвенно:

1. Снимаете деньги с карты, как обычный интернет-магазин, то есть "на себя" переводите деньги.
   
2. Затем уже производите выплату.
   

Первое API - предоставляется любой платежной системой, которая предоставит вам услугу интернет-эквайринга.
Второе API - предоставляется вашим банком.