Как отправить данные с помощью ajax в приложение на asp .net core?

Ваш POST запрос ждет входного параметра с именем data. Причем не знает откуда его брать.
1) Определитесь откуда будете извлекать данные и после того как определитесь - добавьте к параметру атрибут "FromBody" или "FromUri".

2) Затем правьте код самого запроса в котором отправите Ajax-запрос в котором будет Json объект структуры {'data':value}

Решил пробелму переписав контроллер так:

public Object MessageHandler()
    {

        StreamReader sr = new StreamReader(Request.Body);
        string data = sr.ReadToEnd();

        string result = "Сообщение " + data;
        return result;
    }

Скрипт:

$.ajax({
    type: 'POST',
    url: 'Home/MessageHandler',
    data: "Test msg данные тут",
    success: function (data) {
        console.log(data)
    },
    error: function () {
        alert("Произошел сбой");
    }
});

Все работает но я не уверен что все сделал верно.

Может немного запоздал с ответом, судя по дате вопроса, но может это поможет новым молодым разработчикам)

1) Экшен (Метод контроллера с возвращаемым значение IActionResult) должен иметь атрибут IgnoryAntiforgetyToken ОБЯЗАТЕЛЬНО, если вы не генерируете его самостоятельно.
2) ajax запрос должен передавать json данный, если вы указываете тип передачи данных json соответственно. Для этого, перед ajax запросом, пропишите что-то типа let jsonData = JSON.stringify("something").
3) Самое главное, url нужно указывать вот так: '@Url.Action("ActionName", "ControllerName")'
4) Методы success и error, если вы пишете там function(response), то вот этот response это локальная переменная, которая показывает сам ответ от сервера. Для получения каких-то данных от сервера, нужно прямо обращаться к той переменной, которую вы передаёте через Json, для примера, если возврат имеет вот такой вид

return Json(new { message = "some message" } ):

Тогда на ajax'е вы должны обращаться к этой message через переменную response, типа вот так:

alert(response.message);