Js или jquery отправляет ajax запрос на сервер, конкретно у tproger ru запрос летит сюда (даже без crfs tokena, добрые люди):
https://tproger.ru/wp-content/plugins/citation-wid...
как видите сервер отдает случайную цитату в виде текста Js или jquery обновляет нужный блок
$('.someBtn').on('click',function(){
$('#myTextWrap').load('https://tproger.ru/wp-content/plugins/citation-widget/getQuotes.php?_=1512410356815');
});
и все.
Хотя я бы отдавал json с id цитаты, что бы его в localStorage или sessionStorage писать. Тогда можно слать post c этими id-шниками и не повторять цитаты.
Ну а на сервере БД, и выбор случайной записи из таблицы. Там все совсем просто.
Простой