Перестаёт работать мой скрипт на jQuery после выполнения Ajax фильтра?

Нет, консоль пуста

The_Lars, тогда можно гадать долго. В том коде, что вы показали, ошибок нет. Но возможно после ajax-запроса изменяются параметры и элемента с классом .product просто уже не существует.
Попробуйте сделать глобальную функцию, привязывать событие не к конкретному элементу, а целиком к документу для выбранного класса

$(document).on('mousemove', '.product', function(){console.log('1');});

Алексей, С вашим примером всё работает, спасибо! Я не знал, что так можно)