Не понимаю почему не отображается сайт на хостинге timeweb?

Мало информации...

хостинг Таймвеба — что за хостинг (не в плане компании, а вида (шаред или VPS) и тарифа)

Проще всего, Вам будет обратиться в службу поддержки с данным вопросом, они помогут Вам профессионально. Я думаю, что на "натравить сервер на папку public" - проблемы не кончаться. Но, если Ваша задача состоит только в этом, вот код простейшего файла .htaccess, который в свою очередь помещается рядом с папкой public, переадресовывая все запросы на нее (используется в случае невозможности указания корня сайта иным образом):

<IfModule mod_rewrite.c>
  RewriteEngine On
  RewriteRule ^(.*)$ public/$1 [L]
</IfModule>

Так не следует на шаред-хостингах размещать сайты на фреймворках.

Евгений Вольф, Нет все получилось, нужно было ввести в .htaccess эту строку и все сработало, спасибо !