Как сохранить файл на другом сервере на PHP?

flysystem.thephpleague.com/adapter/sftp

Подозреваю, что нужно копать в сторону cURL, но всё таки решил спросить у знатоков.

Можно cURL, можно готовую библиотеку взять.

Если файл не нужен на том сервере на котором хостится сайт, то правильные варианты следующие:
Cразу отправлять с формы на другой сервер.
Если не хочется светить адрес другого сервера, то посмотреть в сторону proxy.

как
php.net/manual/ru/function.exec.php
Кто может сделать
https://www.shellhacks.com/ru/ssh-execute-remote-c...
Как запустить пхп удалено
php -q test.php
ну и если вам нужно подгрузить ядро движка
wget -O - -q -t 1 http://site.ru/test.php

Отдельный вариант:
Банально подмонтируй папку и выполни через wget, в общем вариантов настолько много что нужно точно понимать что и зачем ты делаешь.
я предлажил тебе не стандартные, которые тебе предложет не php программист а админ.
Но и там варианты есть.