К кому обратиться по нарушению прав?

Наврятли. Договора нет, да и как ты говоришь, дизайн хоть и немного, но поменяли.

К кому обратиться по нарушению прав?

В спортлото напишите.

Работали без договора.

Если договора нет, какие могут быть претензии?

Спустя два года я захожу к ним на сайт и обнаруживается очень похожий дизайн, но чуть более упрощенный.

Если у вас есть твердые доказательства, что вы являетесь автором этого дизайна (не похожего, а именно этого), и есть много свободных денег и времени, можете подать в суд. Это конечно дорого и долго, и не факт что окупиться, но возможно.

Россия и Казахстан это две разные страны и законодательства соответственно разные. Но по сути нарушение авторского права на лицо.И шанс есть. Вы не давали им письменного разрешения на использования вашего дизайна, поэтому имеете полное право обратиться в прокуратуру с заявлением. А если у вас сохранена переписка и письмо где вы пересылаете им дизайн для ознакомления, и оригиналы файлов дизайна, то стоит это приобщить к делу, для начала можно в виде распечатки заверенной нотариально.
Ответ на ваш вопрос: Обратитесь в прокуратуру.

Сходства не увидел. Шансов нет, забей и не парься.