Само меню должно быть в контейнере с border.
Проблема в том, что если последнему уровню меню задать position: absolute, то родительский контейнер не будет иметь динамическую высоту и меняться в зависимости от количества пунктов меню.
Я вот так набросал: https://codepen.io/Melagomania/pen/MQQvgb?editors=0100
Конечно решение костыльное и абсолютно не универсальное, ведь количество элементов подменю может быть разным. Тем не менее, возможно, в каком-то конкретном случает и такой способ сойдет, если не предусматривается добавление/удаление подпунктов, подменю. Еще можно при наведении на разные пункты меню задать внизу разные маргины, чтоб высота "подстраивалась".
Средний
