Как в таймере добавлять 0, когда меньше 10?

Проще отдельной функцией сделать:

function pad(x) {
  return x < 10 ? '0' + x : x;
}

и использовать в вашем коде так:

document.getElementById('minute').innerHTML = pad(minute);
document.getElementById('second').innerHTML = pad(second);

А можно воспользоваться стандартной (но не поддерживается старыми браузерами, если нужна их поддержка, не забудьте добавить полифилл из вышеназванной статьи).

Присвоить надо в переменную

window.onload = function(){ 
	function timer(){
		let minute = document.getElementById('minute').innerHTML;
		let second = document.getElementById('second').innerHTML;
		let end = false;
		
		if( second > 0 ) {
    second--;
    if( second < 10) {
    	second = '0'+second
    };
    } else{
			second = 60;
			
			if( minute > 0 ) {
      minute--;
      if(minute < 10){
      	minute = '0'+minute
      }
			} else{
				end = true;
			}
		}

		if(end){
			clearInterval(intervalID);
			alert("Время истекло!");
		}else{document.getElementById('minute').innerHTML = minute;
			document.getElementById('second').innerHTML = second;
		}
	}
	window.intervalID = setInterval(timer, 1000);
}