Как правильно адаптивить сайт на очень ограниченное количество экранов?

если четко просят конкретные экраны, то делай под конкертные ( не забываем про адаптивный режим в инструментах разработчика). Если скажут что едет верстка, то скажи за доп плату. Но лучше предупреди об этом

Моё имхо (мнение хрен оспоришь).

Верстка должна вести себя прилично на абсолютно любом размере экрана от 320 и до бесконечности. Не должно быть жесткой заточки под какие-то фиксированные размеры и ломающегося лейаута между ними. Указанные в ТЗ референсные размеры - это приоритеты, на которых все должно быть подогнано досконально. Между ними допускается, скажем так, "неоптимальный" вид (например, размер элементов несколько меньше или больше оптимального), но ничего не должно ломаться или рассыпаться.

И если бы мне кто-то сказал, что поломанный при какой-то там ширине (типа 675 или 1137) лейаут он будет чинить за дополнительную плату - я был бы в недоумении вплоть до готовности расстаться с таким разрабом.

Да, хороший адаптивный дизайн и верстка - это сложно и муторно. А вы думали в сказку попали?

На смежных разрешениях между вашими тремя экранами сайт должен отображаться адекватно. Никто не делает адаптив, где на допустим 1080пх все поехало, а на 768пх - адекватно.

То есть про такие медиа-запросы забудьте:

@media screen and (width:768px) { 
  body { background: #fc0; }
}

Используйте либо mobile first:

@media screen and (min-width:320px) { 
  body { background: #fc0; }
}

Либо же начиная с десктопа:

@media screen and (max-width:1200px) { 
  body { background: #fc0; }
}

Но обязательно продумывайте поведение элементов так, чтобы на всех разрешениях смотрелось годно)