Как получить год из даты (проблема с getFullYear)?

Скорее всего, у вас проблема с жизненным циклом. Возможно, пропсы динамически обновляются после маунта компонента или ещё что-то подобное происходит. Проблема не в том, что год получить не удаётся, а в том, что вместо dateRange вам приходит пустой объект (или объект, у которого нет свойства start или оно есть, но равно undefined).
Разберитесь с жизненным циклом своего компонента и добавьте соответствующие проверки на валидность его пропсов.

Выдает ошибку cannot read property 'getfullyear' of undefined.

Потому что это функция...

console.log( this.props.dateRange.start.getFullYear() );