Как добавлять Элемент сверху списка?

Это вообще, что за черная магия?:

test.map(i => {
  delete i.id;
  delete i.name;
  delete i.ratio;
  delete i.show;  
});

Кто вас такому научил? Никогда больше так не делайте.

Зачем притянули _.filter когда в прототипе массива есть похожий метод?
Метод map предназначен не для перебора элеметов.
Для переменных, которые не переопределяются, правильней использовать const, а не let.
И в вашем коде не добавляется никаких элементов.

По поводу дизайна.

saveCustomChart(e) {
  e.preventDefault();
  
  let { test } = this.props;
  const { name } = this.state;

  test = test.filter(el => el.show)
    .map(({ someValue1, someValue2 }) => ({ someValue1, someValue2 }));
  
  ajax({
    // no changes
  });
}

someValue1, someValue2 - это имена ключей которые вы хотите отправлять.

По поводу вашей проблемы, из приведенного участка кода не ясно, что и где у вас добавляется и у уж тем более не ясно почему не желаемым образом.

Антон Спирин, завтра попробую сделать как ВЬІ сказали, и напишу Вам!

AskJs, так он вашу проблему не решает. Из вашего примера не ясно ни что за элемент, ни куда вы его пытаетесь добавлять.