WebClient.DownloadString() получает неполный текст документа. Как получить полный?

Тут вам потребуется уже эмулятор браузера.
Можно взять, к примеру phantomjs - https://stackoverflow.com/questions/32531881/retri...
Можно попробовать работать через CefSharp.
Так или иначе, Вам потребуется JS функция, которая сработает при событии загрузки страницы и будет проверять факт того, что страница сформирована. Это можно сделать через тупой таймаут или же мониторить, появился ли тот или иной элемент.