YII2 добавить товар в разные категории?

И можно ли вообще на этом движке такое делать

Можно делать и не такое. Но не с вашим уровнем познаний.

К сожалению с этим движком не знаком совсем

Изучайте документацию до полного просветления. Тем более, что она качественная и доступна на множестве языков.

Yii2 это не движок, а фреймворк. Касательно вашего вопроса - проблема тут не уровня фреймворка, а уровня проектирования БД. Тут достаточно создать три таблицы

products
----------
id
name
...

categories
------------
id
name
...

products_categories
------------------------
product_id
category_id

В этом случае каждый товар можно связать с большим числом категорий. Прочитайте про связи "многие ко многим"

YII не движок. Не туда смотрите.

Свет в конце тоннеля есть, но до него годы. Не преувеличиваю.