<form class="ajax_form" method="post" action="kontaktyi.html">
</form>
Обратите внимание на
action у вас стоит, что при нажатии на кнопку отправить, происходит перегрузка этой же страницы. Вместо этого в action должен быть указан php файл в котором идёт логика обработки письма.
если точнее то примерно так
<form class="ajax_form" method="post" action="mail.php">
</form>
а так должен выглядить mail.php
$mail = "Ваша почта"
$name = htmlspecialchars($_POST['feedback-name']); // получаем имя пользователя
$mailUser = htmlspecialchars($_POST['feedback-email']); // получаем email пользователя
$massage = htmlspecialchars($_POST['feedback-message']); // получаем сообщение пользователя
mail($mail, "Письмо из формы 'Контакты'", "Пользователь с именем".$name."и почтовым ящиком".$mailUser."Прислал вам сообщение: ". $massage. "Не забудьте ему ответить!"); // отправляем письмо на ящик
Вроде бы так... если ничего не напутал
