Как сделать так, чтобы функция возвращала значения типа Array?

Ну вы наверное просто забыли или не понимаете, что функция responseJson выполняется асинхронно. Это просто коллбэк, который выполнится тогд, когда сервер на ваш запрос вернёт Json. Но тк функция работает асинхронно в другом потоке, на текущем потоке после запроса к серверу ничего нет. И функция завершает свою работу. Но она ничего не возвращает, а вы указали что она должна что-то возвращать. Отсюда и ошибка про non Void.

То что вы возращаете item это хорошо. Ток он возвращается уже не в этой функции.

Если вы хотите что бы эта функция возвращала ответ сервера, то вам нужно каким то образом ждать ответа от асинхронной функции. Может воспользоваться DispatchGroup и wait.

А вообще так делать не нужно. Весь смысл асинхронности пропадёт. Эта функция не должна ничего возвращать. А сам факт того что пришли данные должен обрабатываться в responseJson или в наблюдателе переменной куда вы присвоите то что получите.

Либо сделать так как советует doublench21 :

private _data: [[String: String]]? {
  didSet {
   /* Тут я получил данные и что-то с ними уже делаю. Этот код выполнится так скоро,
 как запрос запишет ответ в данную переменную */
 }
}

Либо, переписать функцию чтоб был completion блок:

func request(uri: String, params: Dictionary<String, Any>, completion: ( Array<Dictionary<String, String>>)->())  {
        Alamofire.request(self.url + uri, method: .get, parameters: params as! Parameters).responseJSON { response in
            if let json: [AnyObject] = response.result.value as? [AnyObject] {
                var items = [Dictionary<String, String>]()
                let data = JSON(json)
                for item in data {
                    items.append(["id": item.1["id"].stringValue, "title": item.1["title"].stringValue])
                }
                completion(items)
            }
        }
    }

, в последнем случае, применение функции будет следующим:

classElement.request(uri: myPath, params: requestParams) { items in
    print(items)
}