Как настроить rewrite nginx?

По идее, должно быть:

location /api {
    proxy_pass http://example.com;
}

Регулярное выражение здесь не нужно, достаточно простого сравнения по подстроке. Директива rewrite вызывает перенаправление, а не проксирование.

Вы мало дали информации для подробного ответа, но по крайней мере, с моего ответа можно начать.