А УРЛ у формы поиска какой? Для работы поиска необходим параметр
s в строке запроса + я понял ) У тебя нет шаблона поисковой выдачи
search.php, поэтому тебя выкидывает на главную страницу. WordPress всегда выбрасывает на главную в случае отсутствия запрашиваемого шаблона.
Вот информация для изучения
Иерархия файлов темы (шаблона)
УПД
Для кастомного поста необходимо проверить параметры
'public' => true,
'publicly_queryable' => null, // зависит от public
'exclude_from_search' => null, // зависит от public
register_post_type() 
Средний
