Передача данных на сайт без перезагрузки?

ajax jquery

ключевые слова:
javascript
ajax
websocket

p.s. ладно вы и сами это поняли. Вы должны формировать страницу не на серверной стороне в php, а на клиентской, в javascript на onload (фреймворков шаблонизаторов пруд пруди, но никто не мешает вам делать все самим), и опрашивая либо по таймеру сервер (плохая практика) либо используя вебсокеты, ожидать от сервера данных.

Есть некий тригер, который передает данные в файл accepting_hook.php.

Поконкретнее, где и что за триггер? Если это событие на странице index.php, достаточно аякс запроса и обработки ответа от сервера, с последующим внесением изменений в DOM. Если изменения внешние(происходят на сервере и не связанны с действиями текущего клиента) - то как вам и написали - вебсокет или интервал, в случае интервалов (зная что начинающие разработчики обычно на них стараются строить логику, как на наиболее понятной технологии) важно найти хороший интервал, не сильно часто и не слишком редко. Но в идеале попробовать сокеты.