Как на сайт через PHP вставить значения из другой БД MySQL на другом сервере?

Вариант 1: просто коннектишься к удаленной БД, вместо localhost в настройках подключения пишешь IP сервера.
Но с той стороны сервер БД должен быть настроен слушать не только localhost, а 0.0.0.0 или актуальный ип сервера. Плюс в настройках фаерволла разрешить доступ к серверу БД с ип первого сервера.

Вариант 2: реализуешь на втором сервере на php какой-то примитивный api (google rest api). Пишешь скрипт, который на определенный запрос через веб генерирует запрос в БД, отдаёт результат в формате JSON.
Из своего скрипта через curl или просто

$obj = json_decode(file_get_contents("https://server2/api.php?id=$id"));

и уже с этим объектом делаешь что нужно.