Internet Explorer не выдает диалог выбора сертификата при входе на сайт с авторизацией по ним — чем лечить?

Имеется компьютер с Windows 10, с установленным на нем сертификатом от некоей закрытой площадки, куда доступ есть только из ИЕ (вероятно, из-за аддонов вроде rutoken addin для доступа к СКЗИ). Сертификат виден в системе, носитель с ключом - тоже. При заходе на сайт вместо выбора сертификата сразу вылезает ошибка TLS, которая появляется в случае предоставления неверного сертификата сайту (или непредоставления, что для них одно и то же). На компе установлен Касперский, отключать его пробовали, ноль эффекта. Сам сертификат проходит локальные проверки. Куда копать?