Давайте начну объяснять от печки:
1) Абсолютно все репозитории git равнозначны. Репозиторий на сервере принципиально не отличается от вашего репозитория.
2) Все данные репозитория храняться в папке "Путь к проекту"/.git
Что из этого следует? - Если вы нормально получаете изменения, то структура репозитория не нарушена и git работает как надо.
Весь вопрос в том, как у вас организован сервер.
Обычно на сервере находится так называемый bare репозиторий. Его отличие от вашего, то, что команда git checkout не разворачивает коммит в локальную директорию. И ничего там нет, кроме папки .git. Доступ, к таким репозиториям идет либо по протоколу git, ssh или https.
Никакого FTP в принципе не требуется. Его наличие и ваша попытка посмотреть что за файлы, подсказывает мне, что ситуация такова:
- На сервере НЕ bare репозиторий, а полноценный;
- В папке проекта лежит копия установленного коммита (что это за коммит можно посмотреть выполнив на сервере команду git status);
- Вы работаете и пушите в другую ветку.
