Как сохранить вывод stdout, если в нем есть тест?

Если вам нужна проверка на то пуста строка или нет, то можно так:

echo -e "hello world\nqqq\naaa" | grep -v "^$"

echo -e "hello world\nqqq\naaa" | tee stdout.log
tee дублирует вывод на stdout и в файл

Сохранить в файл:

echo -e "hello world\nqqq\naaa" > file.txt

Сохранить в переменную:

MYVAR=$(echo -e "hello world\nqqq\naaa")
echo "$MYVAR" | sed ...
echo "$MYVAR" | grep ...

Ну и ваша команда явно означает
echo -e "hello world\nqqq\naaa" | sed -n '/^hello/ p'

Вывести только те строки, в которых есть hello в начале строки. Понятно, что sed их урезает. Вы скажите какой конечный результат вы вообще хотите.