Почему не дает поменять DNS?

В данном случае судо относится к ехо, а перенаправление в файл получается от имени текущего пользователя

echo 'foo' | sudo tee /filename

ошибка в команде :)

sudo echo "nameserver 208.67.222.222" > /etc/resolvconf/resolv.conf.d/base

тут тут в одной строке вызов двух "команд": внешней команды echo и потом команды записи в файл.
права назначаются каждой по отдельности.
echo запускается от имени root, а запись в файл уже происходит от имени обычного пользователя.

надо сделать все правильно
echo запустить с правами обычного пользователя, а записать уже с правами root (используявнешнюю команду перенаправления потока ввода в файл)

echo "nameserver 208.67.222.222" | sudo tee /etc/resolvconf/resolv.conf.d/base

Потому-что перенаправление вывода.
sudo bash
вам в помощь или

sudo bash -c "echo "nameserver 208.67.222.222" > /etc/resolvconf/resolv.conf.d/base"