Какие нужны разрешения на Apache для обмена с Битрикс?

от админа делаете выгрузку?

Так может дело в том что файл не обнаружен? )

Просто если 1С на локальном установлена и Битрикс, то тут какие то настройки дополнительные точно нужны, так как они связаываются по http(s)://domen.ru/bitrix/admin/1c_exchange.php и именно это прописывается в настройках 1С. А так как у вас, возможно, прописано в настройках соединения просто "bitrix/admin/1c_exchange.php", то в этом может быть и корень проблемы.

Короче данных недостаточно чтобы решить проблему, да и в Апач может оказаться ни при чем вообще.