Как отобразить push уведомление, когда приложение активно?

В AppDelegate есть такой метод. Там же проверяете, если приложение активно, то отображаете пуш через свою реализацию, какой-то своей view. Иначе, если приложение свернуто, пуш отобразится сам

В случае, если приложение открыто и пришел пуш, показать нативный алерт не получится. Как выше сказал Максим - нужно делать свой класс и показывать его.

The method will be called on the delegate only if the application is in the foreground. If the method is not implemented or the handler is not called in a timely manner then the notification will not be presented. The application can choose to have the notification presented as a sound, badge, alert and/or in the notification list. This decision should be based on whether the information in the notification is otherwise visible to the user.
- (void)userNotificationCenter:(UNUserNotificationCenter *)center willPresentNotification:(UNNotification *)notification withCompletionHandler:(void (^)(UNNotificationPresentationOptions options))completionHandler __IOS_AVAILABLE(10.0) __TVOS_AVAILABLE(10.0) __WATCHOS_AVAILABLE(3.0) __OSX_AVAILABLE(10.14);

- (void)userNotificationCenter:(UNUserNotificationCenter *)center willPresentNotification:(UNNotification *)notification withCompletionHandler:(void (^)(UNNotificationPresentationOptions options))completionHandler
{
    completionHandler(UNNotificationPresentationOptionAlert);
}