Обязателен ли сервер для работы чат бота в Телеграме?

Конечно. Вы же будете получать куда-то call'бэки по сообщениям пользователей и по каким-то алгоритмам придется слать в телеграм. Еще и лимиты отправки контроллировать. В простых случаях SaaS боты куда дешевле чем разработка персонального бота + оплата хостинга + его настройка

Чат-бот это программа. Чтобы чат-бот работал, эта программа должна быть где-то запущена.
Можете не платить каждый месяц, а запустить чат-бота на своем компьютере и не выключать его.

Чтобы бот мог отвечать и нести пользователям какую-либо полезную функциональность в любом случае понадобится запустить какую-нибудь программу, которая будет генерировать ответы и реализовывать этот самый полезный функционал.
В зависимости от того, какой бот планируется, и требований к нему, понадобится сервер. Это может быть платный сервер, может быть будет достаточно бесплатного VPS/PaaS, а, может, даже сойдет запускать что-то на своем личном компьютере. Но что-то запускать придется.