Какие различия между Parse и Convert.To?

Parse преобразует строку в int16 как в вашем примере.
Convert преобразует в int значение любого типа, к примеру boolean, double, float . На не инициализированной строке если использовать Parse вы получите исключение, Convert вернет 0.
Convert можно применить к классу если класс реализует интерфейс IConvertible. Тоесть если вы вводите какой то свой тип данных, то можете проводить в него конвертацию, достаточно будет реализации выше указанного интерфейса.

А еще есть пакет, который сам выбирает подходящтй способ преобразования.
https://habr.com/post/315352/

Чтобы разобраться, в чём разница, то смотрите источник - исходный код вот здесь (в строке 887).
В общем, Parse берёт строку и возвращает число (возможно, будет исключение). Convert.ToInt16 имеет много вариантов, в зависимости от типа аргумента. Конкретно Convert.ToInt16(string) вызывает Int16.Parse(value, CultureInfo.CurrentCulture), то есть, абсолютно нет разницы с Parse (в том числе, возникнет исключение, если строка не является числом).