Почему МНК только при нормальном шуме?

Метод будет лучше работать для нормального распределения отклонения т.к. это в нём заложено.
Показать это легко - можно взять некое искусственное распределение например отклонение всегда на заданную константу c. Тогда функция просто получит смещение f`(x) = f(x) + c и аппроксимированная по МНК такой и останется.
Но если распределение центральновзвешенно или равномерно то метод будет работать

Не совсем так. Главное требование — симметричный шум, иначе оценка будет смещённой.
Но в случае нормального шума МНК превращается в метод максимального правдоподобия. Просто посмотрите на формулу шума, а потом прологарифмируйте.