Чем отличается vue.js от Django?

Вы всё верно заметили.
django - бекенд фреймворк. Он ускоряет серверную разработку, т.е. позволяет использовать готовые модули для каких-то повторяющихся вещей. Можно сделать сайт и без django, но всё придётся писать самому с нуля, время уйдёт больше и есть вероятность наделать нелепых ошибок.

vue.js - фронтенд фреймворк. Ускоряет и структурирует разработку сложного фронтенда. Можно всё написать без него на чистом JS но... вы уже поняли что это может быть получится дольше по времени, всё придётся писать с нуля и будут какие-то ошибки. С другой стороны если на фронтенде нет ничего сложного и только форма регистрации или просто отображение статьи блога то нужен ли тут vue.js ещё вопрос, но это уж кто как привык.

В общем, всё это придумано для ускорения работы, но написать всё можно и без django и без vue.js

Vue.js в основном используется для создания SPA, это значит что изначально загружается кусок клиентского js который создает все что видит пользователь. Сервер чаще всего выступает в роли REST API который просто возвращает нужный набор данных. Jango в свою очередь возвращает клиенту уже готовый статический (и не очень) html. Отвечая на ваш вопрос чем они отличаются - да всем. Можно ли с их помощью решать похожие задачи - да, можно. При желании и шурупы можно молотком забивать

На Vue можно делать ТОЛЬКО фронт, но с возможностью серверного рендеринга, т. е. при запросе к серверу будет приходить готовый html, а все последующие переходы по сайту будут генерироваться уже только в браузере.
Но в любом случае, Вам потребуется еще какое-то API для работы с данными, и не важно, на Python/Django, PHP/Yii, Node/Koa, ... . Естественно, что API может работать как на том же самом сервере, что и Vue-приложение, так и на сторонних ресурсах.