Как правильно объявить переменную и считать внутри функции?

Существует код, вида:

let socket = new WebSocket('ws://localhost:8081'),
    elem = $('#id')

socket.onmessage = function(e){
    elem.html(e.data)    //не делает ничего, не выводя никаких ошибок
    console.log(elem)    //w.fn.init => __proto__: Object(0)
}

Уже все перерыл, не понимаю, как правильно объявить переменную.
Если объявляю внутри socket.onmessage, все работает корректно, но так как переменные используются и дальше в коде, хотелось бы объявить их единожды. Как заставить это работать?