Как в Yii2обеспечить текущую работу в соседних вкладках, если пользватель запустил «тяжелый» (долгий) запрос?

подскажите чем пользуетесь для оповещения?

vnpp, вариантов несколько
Если нет желания раздувать стек, то
1) оповещение на email, если в приложении уже есть такая практика (т.е flow - нажать кнопку - оповещение "отчет генерируется, и иконка "in progress", потом как готово - менять иконку на "ready" - и по клику скачивание, + уведомление на почту
2) либо без уведомления, просто иконку менять, после перезагрузки страницы (не очень user friendly)

если чуть раздуть стек - то:

3) уведомление по websockets (server push), выводить прям в браузер алертом. Либо даже скачивание инициировать - тогда визуально не поменяется процесс. Нажал, подождал, получил пуш из сокетов - начало качаться. Тут обязательно добавить fallback к пункту 2 (чтобы если страницу закрыл человек, или сбой сети - сгенерированный отчет можно было скачать после восстановления)
4) browser notifications через Notifications API с тем же откатом к сценарию 2

тоже хорошее предположение. Также лечится не только закрытием сессии, но и сменой обработчика сессий например на redis или memcached