Что нужно знать верстальщику?

Начинайте изучение с курсов html academy, по ходу дела вам все станет понятно самостоятельно.

Какими должен владеть знаниями верстальщик?

как минимум: html и css на достаточно хорошем уровне + хотя бы минимально js и/или jquery
Тут еще куча не обязательных для новичка, но желательных для плодотворной работы знаний: спрайты, svg, framework-и, media запросы, flex, понимание как работает динамический web сайт в целом, какие бывают cms и еще два вагончика технологий
Сюда же опыт работы с разными js плагинами можно добавить. Это приходит с опытом, Вы обрастете кучей знаний api разных слайдеров (типа slick, owl и т.д.), разных построителей графиков, библиотек для работы с canvas и svg (типа konvajs, threejs и т.д.), всяких select2 и т.д. Но все это не сразу, постепенно. Но чем больше опыт, тем быстрее Вы будете работать, тем меньше велосипедов делать и тем дороже стоить.

Какие нужны инструменты для быстрой вёрстки?

framework-и, сборщики, препроцессоры, нормальное IDE

Скажите, пожалуйста, подробный алгоритм вёрстки, чтобы страница правильно работала в браузере?

Что бы страница правильно работала, надо ее правильно и кроссбраузерно сверстать. Какой тут может быть "алгоритм"?

Нужно знать не алгоритмы а подходы , типа bem , тоесть восприятия элементов и блоков на странице как отдельных компонентов , ну ещё в чем разница блочных и строчных элементов , и что такое flex контейнер и фреймворк bootstrap 4 .
А из инструментов рекомендую phpstorm, или visual code.
И конечно же gulp и обязательно его плагин autoprefixer и sass